با سلام:
طبق درخواست دوست خوبم عاطفه جان می خوام یسری توضیحات در مورد فصل 6 شل دون راس (توزیع توام) بدم.
طبق اشکالاتی که دوستم داشت اون هارو بیان میکنم و لازم میدونم بگم که کتابی هم که بنده ازش استفاده میکنم کتاب مبانی احتمالات و آمار آقایان مجید ایوزیان-ابوالفضل واقفی خواهد بود.
بنده صرفا یه توضیح میدم در حد توانم.اگر ایرادی داشت خودتون دیگه اصلاح کنید.
امیدوارم به دردتون بخوره.
توابع توزیع توام:
طبق تعریفی که تو ی کتاب اومده اینه اگر دوتا متغیر تصادفیX, Y روی فضای نمونه ی یک آزمایش تعریف بشن،آنگاه احتمال رخ دادن توام پیشامد های مربوط به آن ها تابع احتمال توام X , Y می باشد که به صورت زیر بیان می گردد:
این حال برای متغیر تصافی گسسته هست.
همونطور که همه میدونیم برای متغیر های پیوسته نمیتونیم احتمال در یک نقطه رو بیابیم.یعنی احتمال توی نقطه براشون صفره.چون بازه بازه ای پیوسته هست.پس باید برای متغیر های پیوسته از انتگرال گیری استفاده کرد.
پس مبنا همین فرموله اما برای
متغیر پیوسته از انتگرال و حدودش استفاده میشه ، یعنی:
P((X,Y)ЄE)=∫∫f(x,y)dx.dy
حدود انتگرال نیز روی مجموعه ی E تعریف میشود.
برای توابع احتمال حاشیه ای X به 2 صورت زیر عمل میکنیم:
1.برای متغیر های گسسته:
PX(x)=P(X=x)=∑P(X=x,Y=y)
2.برای متغیر های پیوسته:
حدود انتگرال نیز بازه ی (∞(-∞,+ می باشد.
این یه توضیحی مختصر برای توزیع توابع توام بود.حالا از اونجایی که دوستم مطالب خاصی رو خواسته منم همون ها رو میگم.
استقلال متغیر های تصادفی:
کلا می دونیم که وقتی دوتا متغیر مستقل هستند ، میشه احتمال اشتراکشون رو به صورت حاصل ضرب احتمال اون 2 تا نوشت ولی لزوما نمیشه گفت که اگر این تساوی (یعنی همون اشتراک) برقرار باشه حتما این 2 از هم مستقلند. در این قسمت ما میفهمیم وقتی 2تا متغیر مستقل از هم خواهند بود که هر پیشامدی که از Xانتخاب کنیم از هر پیشامد ازY مستقل باشد.
حالا در این قسمت با استفاده از 3 اصل اساسی احتمال و تعریفی که ارایه دادم می تونیم واسه ی توزیع تجمعی و احتمال توام هم تعمیم بدیم و اینجوری بگیم که:
دو متغیر تصادفی X , Y مستقلند اگر و فقط اگر (به این جمله توجه کنیناااااا، توی رابطه ی قبلی که خونده بودیم دو طرفه نبود ولی اینجا دو طرفست) برای هر دو عدد حقیقی a, b داشته باشیم :
2.P(X≤a,Y≤b)=P(X≤a).P(Y≤b)
رابطه ی استقلال برای متغیر های تصادفی گسسته X,Y نیز به ازای تمام مقادیر x,y به صورت زیر است:
P(x,y)=PX(x).PY
در توضیح این رابطه باید بگم که متغیر های تصادفی گسسته X , Y مستقلند ،
اگر و فقط اگر تابع احتمال توام آنها برابر حاصل ضرب توابع احتمال حاشیه ای آنها باشد.
طریقه ی سوال اومدن از این بخش هم عموما اینجوره که بهتون تابع چگالی توام رو یا احتمال رو میدن و بعد ازتون می پرسن که آیا این متغیر ها مستقلند یا نه؟
که شما هم با بدست آوردن توبع حاشیه ای تابع چگالی برای هر دو متغیر میاین ضربشون رو بدت میارین اگر که با خود تابع توام که در سوال دادن یکی شد میگین مستقلند.
حالا برای متغیر های توام پیوسته هم باز مثل رابطه ی بالا عمل میشه با این تفاوت که از تابع چگالی باید استفاده کرد.فکرکنم نیازی به نوشتنش نباشه .
دوستای گلم حالا تو این قسمت می خوام یه نکاته ای رو بگم که هم تو این کتاب اومده و هم در جزواتم دارم.
و به تشخیص شما برای تفکیک متغیر مستقل از نامستقل کمک میکنه:
اگر به شما یه تابع چگالی یا احتمال توام دادن و بعد ازتون پرسیدن که آیا متغیرهاش مستقلن یا وابسته خیلی ساده به رابطه ی بین متغیر ها دقت میکنین،اگر تونستین اون تابع رو به ضرب دو تا تابع نامنفی متغیرها بنویسید و همچنین ناحیه ی متغیر ها رو به دست آوردین و دیدین که بهم وابستگی و ارتباطی ندارن ، اونوقت میتونین بگین که این متغیر ها مستقلند.(و اینجوری نیازی به تشکیل روباط بالا نخواهید داشت)
البته فکر کنم علاوه بر این دلایل بد نباشه برای امتحان توضیح کاملی بدین.چون اساتید عموما نکات براشون مهم نیست و 3 صفحه نوشتن رو اهمیت میدن.
نمونه:
کدام یک از توبع زیر مستقل از هم میباشند؟
F(x,y)=x+y 0 ≤x≤1 0 ≤y≤1
خوب این کاملا واضح هست که این دو متغیر به هم وابسته اند چون تابع رو نمیتونیم به صورت حاصلضرب این دو بنویسیم .
مجموع متغیر های تصادفی مستقل:
توی این قسمت چیزی که معلومه اینه که جمع چند تا متغیر تصادفی با یک توزیع یکسان و مستقل از یکدیگر نیز با استفاده از توزیع اونها به دست میاد.
ببینین دقت کنین که اینجا تابع توزیع متغیر ها باید یکی باشه و همینطور از هم مستقل باشند.
من خودم اینجور تفکیک دادم اینارو:
الف. متغیر گسسته باشد:تابع احتمال آن را می یابیم.
راستش یه مقدار حوصله ی تایپ مثالاش ور ندارم اما براتون توضحی میدم که شاید راهگشا باشه:
نمونه:
اگر X , Y متغیر های تصادفی مستقل دوجمله ای با پارمتر های (n,p),(m,p) باشند،توزیع X+Y را بدست آورید.
خوب اول باید تشخیص بدیم که توزیع داده شده گسستست یا پیوسته.که دوجمله ای جز توزیع های گسسته محسوب میشه.
پس قدم بعدی به دست آ.وردن احتمال اونه.
خوب از همینجا اول میگیم که P(Z=K) میشه چی؟ Z چیه؟همون تابع جدید (یعنی جمع دوتا (X , Y
خوب اول باید محدوده ی K رو تعیین کنیم.
خوب در تابع دوجمله ای متغیر از 0 شروع میشه تا n توی اینجا هم Z باید از 0 شروع شه تا مجموع دوتا انتهای X , Y یعنی m+n
از اینجا به بعد هم که دیگه کار معلومه و بدست آوردن احتمال و بازی با سیگما هست.
ب:اگر متغیر پیوسته باشد: در این حالت میام تابع توزیع تجمعی رو به دست آورده و از آن مشتق میگیرم.
برای این قسمت هم باز باید فقط تابع توزیع تجمعی رو از فرمول معروفش که همون احتمال X های کوچکتر از a هست رو بدست بیاریم و بعدش هم عملیات مشتق گیری تا تابع چگالی بدست بیاد.
در این قسمت یک سری نکات رو درباره ی مجموع چند متغیر میگم که صرفا بدونین که درآخر حل باید چی به دست بیاد :
1.مجموع n متغیر تصادفی مستقل
برنولی با پارامتر یکسان p دارای تو
زیع دوجمله ای با پارامتر های (n,p) می باشد.
2.مجموع r متغیر تصادفی مستقل
دوجمله ای با پارامتر های ( n1 , p ),( n2 , p )…( nr , p ) دارا ی
توزیع دوجمله ای با پارامترهای
( ∑ni , p ) خواهد بود.(یعنی پارامتر اولش رو جمع پارامتر های اول تمامی متغیر های دوجمله ای داده شده مینویسیم ولی پارامتر دوم تغییری نمیکنه.
3.مجموع r متغیر تصادفی مستقل
هندسی با پارمترهای یکسان p دارای
توزیع دوجمله ای منفی با پارامترهای ( r , p )خواهد بود.
4.مجموع k متغیر متغیر تصادفی مستقل
دوجمله ای منفی دارای توزیع
دوجمله ای منفی با پارامترهای
(∑ ri , p) خواهد بود.
5.مجموع n متغیر تصادفی مستقل
پواسون با پارامتر یکسان λ دارای توزیع
پواسون با پارامتر
λ i∑ می باشد.
6. مجموع n متغیر تصادفی مستقل
نمایی با پارامتر یکسان λ دارای
توزیع گاما (ارلنگ) با پارامتر های
( α = n , λ) می باشد.
7. مجموع n متغیر تصادفی مستقل
گاما با پارامترهای ) λ αn , …,(( λ α1 , ( دارا ی توزیع
گاما با پارامتر های
∑α i, λ )) خواهد بود.
این مطالبی بود که خواستی.
فقط راجع به توزیع شرطی برام بگو که مشکلت چحوریه؟توضیحش رو میخوای؟یا مثال؟
راستی چون فونت اینجا بهم میریزه من فایل وردش رو هم قرار میدم.
با احترام
